Аннотация: Статья посвящена последовательной разработке теоретико-групповых статистических методов для решения обратных реконструктивных задач, в особенности задач обработки изображений и распознавания образов. Предложенный подход позволяет выявлять и визуализировать в объекте диагностики различные “смысловые структуры”. В своей основе это дифференциально-геометрический подход в рамках “геометрии в малом”. Основным инструментом для создания реконструктитвных процедур является гипотетическая локальная группа преобразований (так называемая ключевая группа). Локальное микроизображение в исходном изображении можно рассматривать как объект, удовлетворяющий требованиям Картановской геометрии с данной “ключевой группой”. Принимаем это в качестве “нулевой гипотезы”. Конечно, существуют отклонения от требований такого рода гипотез. Эти “неожиданности” напрямую связаны с выявляемой содержательной информацией об исследуемом объекте. Такая проверка гипотез – статистическая по своему смыслу. Локальные оценки отдельных элементов изображения позволяют в совокупности построить и все итоговое изображение. Смена “ключевой группы” дает возможность переключения на исследование других аспектов исследуемого объекта с широким “семантическим спектром”. Значительная часть данной статьи посвящена обсуждению приложений предложенного подхода в неразрушающем контроле, в медицинской диагностике и в других многообещающих сферах приложения.

Annotation: This article focuses on the consecutive elaboration of group-theoretical statistical methods for solving inverse reconstructive problems, especially in image processing and pattern recognition. The offered approach allows recognizing and visualizing different “semantic structures” in the objects of diagnostics. In essence, it is differential-geometrical approach in the framework of “geometry in small”. The basic instrument of developed reconstructive procedures is a local hypothetical group of transformation (so-called key group).

Normally, it is possible to consider a local microimage in initial image in the framework of Cartan geomеtry of this “key group”. It is the “null hypothesis”. Of course, there can be deviations from such null hypotheses. It allows gaining valuable information concerning test-object. Such testing is statistical by its very nature.

Local estimations of separate elements of image allows constructing the resulting image as whole. Change of “key group” enables to investigate quite other aspects of test object, for which wide “semantic spectrum” is characteristic. The essential part of this paper is discussion of applications of offered approach in nondestructive testing, medical diagnostics and in other pprospective areas.

Обработка изображений и реконструктивная вычислительная диагностика

Развитие вычислительной томографии (ВТ), в особенности, в ее современной форме как реконструктивной вычислительной диагностики (РВД), привело к смене ориентиров и в традиционной цифровой обработке изображений (ОИ), где на первый план выдвигаются задачи реконструкции изображений по неполным и зашумленным данным. . При этом “многоракурсность” задач перестает быть прерогативой ВТ, а границы между томографическими и “нетомографическими” реконструктивными методами условны, поскольку между ними часто возможно установить изоморфизм.

Весьма заметно стремление разработчиков систем РВД дать пользователю максимум смысловой (“семантической”) информации об объекте контроля (ОК) при минимизации смыслового шума. Например, в неразрушающем контроле (НК) естественно   решать задачу ВТ в “смысловых координатах” дефектоскописта, поскольку с профессиональной точки зрения его интересует вовсе не какое-нибудь абстрактное “скалярное поле коэффициента линейного ослабления рентгеновского излучения”, а прагматические смыслы, выраженные в карте дефектности объекта контроля. Традиционная ВТ не озабочена их распознаванием, оценкой и отделением от смыслового шума. Часто, на основе решения даже хорошо обусловленной задачи ВТ невозможно сделать какие-то полезные для дефектоскопии выводы, тем более принять какие-то практические меры (скажем, об отбраковке изделия и т.п.). Возникает необходимость “вторичной” реконструктивной работы, требующей свежих идей и по степени трудности не уступающей решению “базовой” задачи ВТ. Не логичнее ли реконструировать формальную “смысловую структуру” в ОК непосредственно из проекционных данных, без обращения к “промежуточным результатам” ВТ, тем более, что ценнейшая информация о “смыслах” в них часто уже необратимо утеряна?  Некоторые (столь важные для практической дефектоскопии) явления, скажем, отслоение топлива от стенок двигателя твердотопливной ракеты или микротрещины в сварных швах, традиционная ВТ попросту “не способна видеть”. (В моделях ВТ соответствующие им математические образы попадают в “множество меры ноль” и потому не проявлены в результатах). Исходная реконструктивная задача в этих ситуациях некорректна “в острой форме”.

Многоаспектность решений задачи РВД

Пскольку практических задач этого типа накопилось уже немало особенно в НК), требуется унифицированный подход к их решению и удобный “механизм переключения” между заложенными в ОК прагматическими смыслами. Реальный ОК хаотичен и в нем множество разнообразных “смыслов”, часто плохо согласующихся и даже “борющихся” между собой. Подчеркивая это обстоятельство, говорят о широком “семантическом спектре” ОК. При “регуляризация” исходной реконструктивной задачи   выделяется и культивируется какой-то особенный “смысл” и, таким образом, она является своеобразным “выбором пути” решения задачи РВД – одного из многих возможных. Они не отрицают, а взаимно дополняют друг друга.

Принципиальные трудности формализация смыслов и “семантические структуры”

Успешная унификация такого рода осуществлена в цикле работ [1-8], в русле методологии структурного подхода, однако с нетривиальным современным дополнением к ней – предложенными авторами теоретико-групповыми статистическими методами решения обратных реконструктивных задач [5-8]. В связи со сказанным выше нетрудно понять, что общий подход к огромному массиву диверсифицированных задач РВД возможен лишь на базе унифицированного подхода к формализации самих заложенных в ОК “прагматических смыслов”.

Смысл является прерогативой человеческого синтетического мышления, для которого характерно единство ratio и интуиции.  Оно продуктивно (креативно). С этим тесно связана другая его сторона, заключающаяся в том, что смысл индивидуален и, строго говоря, невыразим. При общении другим людям передается не смысл, а некоторый его гомоморфный образ, который может быть точным, но никогда не бывает полным. Принципиальная неполнота характерна для любой формализации смысла, результатом которой является   некоторая “усеченная” языковая структура, вовсе не тождественная смыслу.  Для понимания смысла другой человек осуществляет “обратный перевод” данной формально-аналитической структуры на “свой” синтетический уровень. Решается задача индивидуальной интерпретации, иначе говоря обратная задача реконструкции смысла на дологическом уровне. (Подчеркнем, что в рамках “чистого” формально-аналитического мышления это невозможно). Поскольку “единство ratio и интуиции” у каждого человека “свое”, реконструированные разными людьми смыслы будут в той или иной мере различаться, что в свое время дало повод В. фон Гумбольдту сказать: “Всякое взаимное разумение есть взаимное недоразумение”.  В то же время для языковой структуры характерна информационная “избыточность”, позволяющая в значительной мере снизить уровень “взаимноого недоразумения” и выделить “инварианты понимания”.

Представление смыслов инвариантными структурами

Разумеется, “смысл” в том или ином объекте может быть формально представлен каким-либо набором признаков и характеристик. Это обычная процедура научного исследования. Однако, важнейшее свойство смысла (и условие его “переводимости” на синтетический уровень) – целостность. Именно его следует “удержать” и отразить в “аналитических” математических моделях.

Наиболее последовательно эта установка осуществляется в рамках структурного подхода, занимающегося изучением целостных устойчивых объектов, не меняюшихся при своих преобразованиях самоподобия.  (В теоретико-групповых вариантах структурного подхода им соответствуют операторы группы автоморфизмов объекта). Все изменения в объекте (системе) происходят на уровне субстрата (или “элементной базы”) при неизменности его структуры т.е. совокупности устойчивых связей и отношений в нем – структурных инвариантов).

Структурные, в частности, теоретико-групповые методы давно и успешно используются в качестве инструментов смысловой классификации самых различных объектов, как абстрактных, так и конкретных. В связи с этим уместно упомянуть теоретико-групповую классификацию геометрий в широко известной “Эрлангенской программе” (1872) Ф.Клейна [9], оказавшей сильнейшее влияние на все математическое естествознание XX-ого столетия. А. Пуанкаре был первым, кто начал систематическое изучение теоретико-групповыми методами таких “смыслов” как “законы природы”. В настоящее время назрела необходимость применения структурных (теоретико-групповых) методов для решения широкого круга проблем информатики, что, собственно говоря, и начато в цикле работ [5-8].   Прежде всего это касается разработки систем РВД и “искусственного интеллекта” (ИИ).

Ошибки 1-го и 2-го рода в распознавании “смысловых структур”

Как уже отмечалось, при формализации смысла в качестве результата остается лишь некоторый его гомоморфный образ, что, конечно, справедливо и при структурном подходе к смыслам. Иначе говоря, группа автоморфизмов ограничивает смысл “сверху” т.е. инвариантные свойства смысла это необходимое, но не достаточное условие для его идентификации. Например, теория, удовлетворящая преобразованиям из группы Лоренца-Пуанкаре – не обязательно классическая электродинамика.

В логике определяются объем и содержание понятия, которые, как известно, находятся между собой во взаимно-обратном отношении. Для предельно абстрактных понятий объем велик, а содержание бедно. Любая группа автоморфизмов завышает его объем (давая ему “верхнюю оценку”). Например, для элементарной геометрии с ее богатейшим содержанием “объем” (определяемый “группой движений”) относительно невелик. Напротив, для топологии (с ее “группой гомеоморфизмов”) объем велик при относительно малом содержании. 

Группа автоморфизмов не в состоянии определить “смысл” как некий уникальный объект. Это задача индивидуальной человеческой интерпретации. Наука избегает описания уникальных объектов. В этом ее сила и слабость. (Сила в том, что ее методы единообразно применимы для описания очень широких классов внешне разнородных объектов). Было бы, однако, наивным, исходя из этих рассуждений, придти к выводу, что “ученые не оперируют уникальными смыслами”. Напротив, преимущественно этим они и занимаются. Существует резкое противоречие между научным результатом (который формулируется на аналитическом уровне) и его достижением (как и его интерпретацией), которое осуществляется на синтетическом уровне.

Гомоморфный образ смысла — это своеобразный “зонтик”, который его защищает. Нельзя выходить за его пределы. Это грубая ошибка (1-го рода). “Под зонтиком” же возможны (“более терпимые”) ошибки 2-го рода. Подмена “истины” инвариантностью (например, в структурных методах распознавания) [5-7] это ошибка 2-го рода. Вообще, хорошая система РВД сужает “объем понятия” для реконструируемого объекта, уменьшая ошибку 2-го рода, но никогда не доводит его до нулевого.

Возможности дифференциальной геометрии многообразий для теоретико-групповой статистической реконструкции изображений

Теоретико-групповые статистические методы решения реконструктивных задач [5-8]   развиваются “на “стыке” нескольких традиционных направлений современной математики (теория групп, геометрия, математическая статистика и теория решения обратных задач). Прикладные аспекты новых методов касаются всего комплекса проблем ОИ и РВД.

Современную геометрию [10] принято разделять на геометрию в целом и геометрию в малом. Такое противопоставление появилось в 20-х гг. XX-ого столетия. “Геометрия в целом” изучает целостный пространственный образ объекта, например, всю кривую или всю поверхность. Достижений у “геометрии в целом” меньше, чем у “геометрии в малом”, занимающейся изучением геометрического образа объекта в достаточно малой окрестности каждой из ее точек. Дифференциальная геометрия является типичной “геометрией в малом”.

Возможности “геометрии в целом” для развития теоретико-групповых реконструктивных методов довольно ограничены. Возможности “геометрии в малом” концептуально более привлекательны и непосредственно связаны с представлением изображения дифференциально-геометрическим многообразием.  В этом случае для обработки и реконструкции изображений можно применять эффективные “локальные методы”.

Методы статистической оценки и реконструкции изображений на основе локальной группы преобразований

В предварительной (нестатистической) постановке задачи реконструируемое изображение рассматривается как гладкое дифференциально-геометрическое многообразие μ в некотором конфигурационном пространстве SC размерности Λ. В этом случае для него справедливы соображения “геометрии в малом” и возникает возможность исследовать его путем проверки теоретико-групповых гипотез [6].   Будем проверять “нулевую” гипотезу, является ли некоторая группа Ли L_S локальной группой автоморфизмов для данного многообразия в точке с координатами ξ₁, ξ₂, …, ξ_Λ элемента изображения в S_C.

(В качестве “исходных данных” для этой реконструктивной задачи фигурирует “исходное изображение” I_O (ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ) в пространстве S_C. По-другому – I_O это “исходный информационный образ” объекта контроля. Его структура, первоначально никак не интерпретируемая и допускающая множество виртуальных смыслов, исследуется путем проверки теоретико-групповых гипотез о нем. В процессе исследования может выясниться, что подход к I_O на основе непрерывных групп неприменим. Первое из наших допущений заключается в его применимости. В данном случае I_O отождествляется с “гладким дифференциально-геометрическим многообразием” μ. В этом сущность “нестатистической” постановки задачи).

По сути дела, гипотетическая локальная группа L_S задает “фон” нового реконструируемого изображения. Вполне понятно, что изображение как содержательное сообщение не сводится к одному лишь фону и в некоторых его элементах наблюдается понижение локальной симметрии т.е в них автоморфизмы группы L_S не выполняются. Пониженная (существующая в отличие от L_S “объективно”) симметрия описывается какой-то другой группой L_O. Содержательность итоговогоизображения достигается разницей симметрий   L_S и L_O. Для ее количественной оценки сконструируем неотрицательную “меру различия” 

 

Φ = Φ (L_S , I_O , ξ₁, ξ₂, …, ξ_Λ)                                                                   (1)

 

При вычислении (1)   каждый из операторов g из группы Ли L_S действует в заданной точке ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ на I_O и, таким образом, I_O “расслаивается” на на систему “внутренних ракурсов” gI_O, рассматриваемых локально в некоторой окрестности элемента ξ₁, ξ₂, … , ξ_Λ  (т.е. “в малом”).

Мера различия (1) предназначена для оценки возникшей в ходе исследования локальной диссимметрии.  Если все локальные ракурсы равны между собой, то гипотетическая симметрия, задаваемая группой L_S, не нарушена и для оценки диссимметрии (1) предполагается Φ = 0. Если хотя бы два из таких локальных ракурсов не равны между собой, то симметрия нарушена и для (1) должно выполняться неравенство Φ > 0. Итак, во “вторичном изображении” (1) представлены как инвариантные, так и неинвариантные (относительно L_S)  свойства объекта (т.е. фон или “норма” с Φ = 0  и “аномалии” с Φ > 0), причем одновременное их присутствие принципиально необходимо.

Мера (1) является нелинейным функционалом исходного изображения I_O. При этом группа L_O  обычно не входит явно в (1) в качестве аргумента.  Определить его можно разными способами в зависимости от характера задачи. Самый простой из них – представить Φ квадратичным функционалом, точнее мерой типа дисперсии. Она строится     обычным путем усреднения по группе L_S   изображений gI_O, а затем усреднения по группе их квадратичных отклонений от среднего.    

Гипотеза о том, что исходный информационный образ I_O объекта контроля является многообразием, которое можно исследовать на основе   групп Ли L_S (“в малом”) становится бессмысленной при разрушениях информационного образа (например, при зашумлении в измерительном тракте интроскопа). В общий шум внесут свою долю еще и помехи от вполне детерминистких структур с симметриями, отличными от  L_S. Тем не менее, структурные инварианты, характеризующие фон, и структурно-функциональные связи реконструируемого объекта продолжают еще сохраняться в видоизмененной деградированной форме, не в бесконечно малой, а в некоторой конечной окрестности элемента разрушенного изображения объекта контроля. Дело в том, что алгебраические свойства объектов значительно устойчивее их “лежащих на поверхности” топологических свойств. Поэтому очень многие важные для практики характеристики объекта контроля успешно “переживают” умеренные катастрофы, если еще не исчерпана статистическая избыточность той (ответственной за объект реконструкции) “фоновой” структуры, инвариантами, которой они предполагаются. В этом случае еще не утрачены возможности “различения смыслов” на основе конструкций типа (1).

Для реконструкции существенных свойств объекта по разрушенному информационному образу объекта контроля адекватен статистический подход   для проверки теоретико-групповой нулевой гипотезы в конечной окрестности элемента исходного изображения. При этом строится мера отклонения F от условий нулевой гипотезы, аналогичная (1), но уже статистическая. Поскольку статистический метод по своей природе “выборочный”, группа  L_S заменяется в   F соответствующей конечной подгруппой L_S. Статистика F используется затем в качестве распределения яркостей итогового изображения.

Меняя ключевую группу L_S, можно выявлять другие структуры объекта. На основе данного подхода разработаны алгоритмы обработки изображений, нашедшие применение в практике контроля.

Важной проблемой, которая должна решаться в рамках данного подхода, является статистическая оценка структурных инвариантов изображений путем проверки о них теоретико-групповых гипотез c ключевой группой L_S. Формирование таких оценок осуществлятся на основе исходного изображения I_O  при взаимном сопоставлении его “внутренних ракурсов”, возникающих за счет преобразований из группы L_S.

Пусть на исходном изображении (в данном случае на локальном микроизображении, скажем, в окрестности “центрального элемента” ξ₀₁, ξ₀₂, … ξ_0Λ) определен некоторый (в общем случае нелинейный) функционал

Ψ = Ψ (I_O , ξ₁, ξ₂, … , ξ_Λ)                                                     (2)

(В частности, (2) может быть определен на каком-то подмножестве пространства микроизображения). Требуется определить, является ли (2) инвариантом относительно преобразований из группы L_S. При работе с экспериментальным материалом (т.е. с I_O) рассматриваем это подлежащее проверке предположение как теоретико-групповую “нулевую гипотезу”.  Для решения данной задачи представим сначала систему оценок “внутренних ракурсов” для (2) в форме

 

Ψ_L = Ψ_L (L_S , I_O , ξ₁, ξ₂, … , ξ_Λ)                                              (3)

 

т.е в (3) исходное микроизображение, как и в (1), сначала подвергается действию всех операторов g из группы Ли L_S по отдельности, и, таким образом, “расслаивается”, на “систему внутренних ракурсов” Ψ_L, а затем Ψ может быть вычислено либо непосредственно по формуле (2), либо по ее модификации, когда изображение I_O заменено нетривиальным “внутренним ракурсом” g I_O т.е.

Ψ = Ψ (g I_O , ξ₁, ξ₂, …, ξ_Λ)                       (4)

 Будем считать разные “внутренние ракурсы” эквивалентными если для них равны оценки (2). Если все “ракурсы” из системы  Ψ_L эквивалентны, нулевая гипотеза не отвергается.

Степень отклонения от нулевой гипотезы может быть оценена с использованием “мер различия”, сконструированных как на основе известных статистических критериев [11], так и на основе “неклассических статистик” нелинейного обратного проецирования [1-3].

В общем случае   Ψ в (2) осуществляет описание некоторой   “множественной структуры”, которая представлена не обязательно одним-единственным скалярным инвариантом.  В частности, такой подход актуален при диагностических оценках различных физических полей (векторных, тензорных и пр.), в том случае, когда их исходные информационные образы сильно зашумлены или, когда разнородные поля наложены друг на друга. При описании физических полей Ψ в (2) интерпретируется как набор оценок предполагаемых локальных инвариантов для какой-то структуры, например, для многомерной матрицы (элемента “поля матриц”) в точке ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ, причем статистическая оценка для каждого предполагаемого инварианта из данного набора может производиться по отдельности. 

Возможны многослойные “структурные поля”, в которых инварианты слоя заданы параметрически, а инварианты соседних слоев “близки” друг к другу, причем переходы между ними осуществляются операторами определенной транзитивной группы. В качестве примера скалярного структурного поля можно привести отдельный слой с глубиной залегания z в томосинтезе. В практических реконструктивных методах (например, в нелинейном томосинтезе [1, 2] и различных других вариантах малоракурсной томографии) наиболее важны дифференциальные инварианты, а в рамках “геометрии в малом” именно с ними и приходится работать.

При статистической проверке нулевой гипотезы о существования инварианта и для оценки степени отклонения от этой гипотезы по зашумленному информационному образу объекта уместно использование “мер различия” одновременно для всей системы “внутренних ракурсов”, тогда как для оценки самих инвариантов – “мер сходства” (как в нелинейном томосинтезе [1]), хотя для оценки “дифференциальных инвариантов” в рамках “геометрии в малом” возможно использование и тех, и других.

Картановские геометрии и методы статистической реконструкции изображений с локальной группой Ли

Осуществляя теоретико-групповую классификацию разнородных геометрий, Ф. Клейн [9] ставил следующую задачу: “Имеется многообразие и заданная в нем группа преобразований; требуется   найти в многообразии те принадлежащие ему структуры, свойства которых при преобразованиях из данной группы не меняются” ([9], cтр. 34). И еще одна задача (направление исследований): “Имеется многообразие и заданная в нем группа преобразований. Развивают соответствующую данной группе теорию инвариантов” ([9], cтр. 35). Наиболее последовательно эти установки стали реализоваться, начиная с 20-хх гг., XX-го столетия, в особенности в цикле работ Эли Картана 1922-1925 гг. [10].  Этим исследованиям способствовало еще и то обстоятельство, что за прошедшие полвека обнаружились недостатки и в самом подходе Клейна к классификации многообразий. (Некоторые из римановых пространств обладают лишь тривиальной группой движений). Определенная узость точки зрения, выраженной в “Эрлангенской программе”, была преодолена Э.Картаном, развившим понятие о таком пространстве, в котором теоретико-групповые преобразования задаются лишь в бесконечно малых областях. Он соединил с одной стороны идеи Римана, а с другой – идеи Ли и Клейна. Т.н. G-пространство Клейна (т.е. множество   M вместе с действующей на нем группой преобразований G) было Картаном модифицировано.

Воспроизведем основные, достигнутые в этом синтезе позиции, не касаясь деталей. Пусть для некоторого многообразия   M задана некоторая “локальная группа” G отображений, иначе говоря, совокупность отображений областей этого многообразия на себя и на соседние области, удовлетворяющая аксиомам теории групп. Тогда некоторый геометрический образ α в M называется эквивалентным (или “равным”) геометрическому образу β, если в группе G существует оператор, переводящий α в β. Всю систему возможных высказываний о таких свойствах геометрических образов (и о таких величинах), которые являются инвариантными относительно всех преобразований группы G называют геометрией группы G.  Естественно, для локальной группы G   геометрические образы рассматриваются “в малом”. 

Обсудим статистический теоретико-групповой подход к решению обратных реконструктивных задач с позиций современной геометрии. В роли структурной группы G в статистической модели, выступает гипотетическая локальная группа L_S. В роли многообразия   M выбрано исходное многообразие μ в конфигурационном пространстве S_C. Иначе говоря, μ это “погруженное в S_C” риманово пространство, для которого справедливы все соображения “геометрии в малом”.  “Геометрическим образом” в этом локальном подходе являлась бесконечно малая окрестность точки с координатами ξ₁, ξ₂, …, ξ_Λ   в многомерном пространстве S_C.

Прежде всего рассмотрим первую из задач, поставленных Клейном (т.е. отыскать в многообразии μ такие формации, которые не меняются при преобразованиях из группы L_S). Для этого адекватен такой инструмент, как неотрицательная мера Φ, являющаяся формальным критерием (1) для выделения из μ таких бесконечно малых участков, в которых условия Клейна выполнены. Это осуществляется при Φ = 0, тогда как при Φ > 0   эти условия нарушены. Таким образом, вычисление меры Φ по (1) дает информации больше, чем требуется для проверки условия Клейна, что важно для дальнейшего.

Выделяются не только участки с “геометрией группы L_S”, но в других участках многообразия μ на основе меры Φ, оцениваются отклонения от этой “геометрии”. Кроме того, решение задачи Клейна алгоритмизируется (и. может осуществляться компьютерно).

В силу этих обстоятельств мера типа (1) является не только полезным концептуальным инструментом, но также эффективным практическим инструментом. В частности, ее пригодность для формирования “вторичных изображений” на основе оценки разницы локальных симметрий обеспечивает ее применимость в различных областях РВД и ОИ даже в ее нестатистических вариантах (при слабой зашумленности исходных изображений). Прежде всего это касается морфологического анализа изображений и распознавания образов. Вообще же детерминистская по форме нелинейная мера типа (1), является по своей природе “квазистатистической”, иначе говоря, она работает на переходной стадии от детерминистского описания объекта исследования к статистическому и является прототипом для формирования разнообразных уже явно статистических оценок F работоспособных   в рамках “мягких” статистических моделей.

Введение (1) сразу же вносит в теоретическую модель аспекты, чуждые “чистой геометрии”. Во-первых, многобразие μ является здесь “непредсказуемым”. (Оно не является, например, “многообразием с постоянной кривизной” или “многообразием с постоянным изменением кривизны”).  Многообразие μ с заданной на нем гипотетической группой L_S не является ни “G-пространством Клейна”, ни “геометрией группы G” Картана. Оно было бы таким при тривиальном условии Φ ≡ 0 во всей его области определения в μ. В нем проявлены существенно информационные аспекты т.е, μ является источником и носителем информации, которая выявляется при проверке гипотез и формировании “вторичного изображения” согласно (1). Можно сказать, что в “многообразии μ с группой L_S” задан “текст” вместе с ключом для его расшифровки. Расшифрованным текстом является “вторичное изображение” (1).

В многообразии μ может содержаться множество “текстов”, которые “расшифровываются” разными ключами L_S. Вслед за информационными неизбежно появляются и существенно статистические аспекты μ. Изображение (1) в этом случае естественным образом заменяется полем статистических оценок (5), причем для построения явных статистических оценок F (ξ₁, ξ₂, …, ξ_Λ )  группы Ли L_S заменяются представляющими их конечными группами L_fin, 

F (ξ₁, ξ₂, …, ξ_Λ) = F {L_fin, I_O (η₁, η₂, …, η_Λ )}                                                      (5)

Проверка гипотезы для каждого элемента “вторичного изображения” F (ξ₁, ξ₂, …, ξ_Λ) осуществляется в соответствующем ему евклидовом касательном пространстве (“в малом”), причем изначально не вводится каких-либо предположений о “связности” между такими пространствами, поэтому результат проверки непредсказуем заранее. Группа G меняется при переходе от одного элемента изображения к другому и, вообще говоря, “геометрия группы G” для каждого “евклидового в малом” пространства своя.

“Жесткое” осуществление проверки условий Клейна на основе (1), т.е. требование точного соблюдения критерия Φ = 0, неэффективно в практическом плане. (В этом случае выделяемые из μ на основе группы L_S структуры попадут в “множество меры ноль”).  Здесь уместно и естественно некоторое “размытие” условия Φ = 0, что осуществляется при использовании статичтических оценок (5). Конечно, для “чистой геометрии” это нехарактерно. Cтатистически выявляющиеся взаимодействия между различными субструктурами объекта контроля дают возможность сделать некоторые выводы о его информационном образе (т.е. о многообразии   μ).  В нем появляется “связность”, но уже не детерминисткой природы (скажем “линейная связность”), а статистической природы. 

В дальнейшем формулы (1) и (5) служат прототипами для формирования разнообразных явно статистических оценок. Вообше говоря, трудно провести четкую демаркационную линию между случайным и детерминированным. Одним и те же оценки, например, оценки выпуклого проецирования и нелинейного обратного проецирования [1, 2] могут интерпретироваться и как детерминированные и как статистические.

Методы статистической оценки систем локальных микроизображений, порождаемых операторами группы Ли, в   локальной микрообласти исследуемого изображения

R_k (ε₁, ε₂, …, ε_Λ) = g_k (ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ) I_O (η₁, η₂, …, η_Λ )                                           (7)

 

т.е каждый из “внутренних ракурсов” получается путем действия параметрически определенного в точке ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ оператора g_k из группы L_fin, 

Наиболее простыми по структуре являются покомпонентные (в общем случае нелинейные) статистические оценки F_k (ε₁, ε₂, …, ε_Λ) т.е., по отдельности для каждого многомерного вектора     (ε₁, ε₂, … ε_Λ) из рассматриваемой локальной области. В этом случае статистическая оценка для микрообласти (определяемой элементом ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ) представляется в виде функционала (в общем случае нелинейного) от покомпонентных оценок т.е.

 

F (ξ₁, ξ₂, …, ξ_Λ) = F {F_k (ε₁, ε₂, …, ε_Λ)}                                                              (8)

 

(аргументом функционала является вся совокупность F_k для диапазона значений k = 1, …, K_L в правой части (8)).

         Широкий класс оценок строится в форме усреднений по группе L_fin, причем наиболее традиционной из них является обычное линейное усреднение

 

H_linav (ε₁, ε₂, … , ε_Λ) =  (1/K_L)   ∑_k   F_k (ε₁, ε₂, …, ε_Λ)                                         (9)    

 

По оценке (9) вычисляется и покомпонентная дисперсия. 

                                         

F_dis (ε₁, ε₂, …, ε_Λ) = D R =  (1/K_L)   ∑_k   (F_k - H_linav)²                                          (10),

 

где R  ≡  {F_k (ε₁, ε₂, …, ε_Λ)}  –  совокупность локальных “внутренних ракурсов”. Линйное усреднение (9) является типичной покомпонетной “мерой сходства”, а (10) – покомпонетной “мерой различия”.

При решении на статистической основе вопросов о “существовании” инвариантов (2) квадратичные оценки типа (10) остаются во многих случаях полезными в качестве “строительных блоков” для конструирования различных критериев согласия. Легко адаптируются для данной цели и классические техники математической   статистики [11] (прежде всего “Хи-квадрат” К.Пирсона и дисперсионный анализ Р.Фишера). Для этого, однако, приходится делать предположения о “нормальности” (или же о “равномерности”) распределений тех шумов, на фоне которых оценивается инвариант. Это далеко не всегда оправдано, поскольку в шумы существенный вклад вносят “осколки” от вполне детерминистких структур (описываемых своими группами автоморфизмов), образующиеся при преобразовании исходного информационного образа I_O операторами из чуждой этим структурам группы L_S  (или L_fin).

Инварианты, вычисляемые согласно (2) является неточными, даже если их существование не отвергается при проверке гипотезы об их существовании с каким-то определенным уровнем значимости. Они могут быть вычислены с бóльшей точностью, если в качестве аргумента в (2) использовать не отдельный “ракурс” (например, I_O), а (9), но только при справедливости предположений о “нормальности” закона распределения для шумов. По указанным выше причинам это часто не оправдываеnся.    

         Как уже говорилось, вычисляемые в окрестности ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ неточные инварианты могут представлять собой скалярные поля. Их уточнение возможно при взаимном наложении системы “внутренних ракурсов” и применению к ним покомпонентнвх оценок, аналогичным оценкам нелинейного обратного проецирования в томосинтезе [1-4].  По своему смыслу это нелинейные усреднения по группе. Формально техника нелинейного обратного проецирования лишь незначительно изменяется и “изоморфно переносима” с задач томосинтеза на задачи реконструкции изображений с локальной группой Ли.  

         Задача реконструкции отдельного слоя в томосинтезе может рассматриваться как осуществление “борьбы с помехами”, представляющими собой аддитивные неотрицательные `добавки в проекционные ракурсы от других слоев. Она не может быть адекватно решена на основе (9). Кратко рассмотрим некоторые из статистических оценок, часто применяемых в нелинейном томосинтезе, сразу же переводя их на язык ОИ с локальной группой. Для “метода минимальных проекций” [1-4] имеем

 

H_min (ε₁, ε₂, …, ε_Λ) =  min _k {F_k (ε₁, ε₂, …, ε_Λ)}                                           (11)

 

(при пробегании индексом k значений k = 1,…, K_L). Аналогично для порядковых статистик

 

H_{ord (k)} (ε₁, ε₂, …, ε_Λ ) =  S _k {F_k (ε₁, ε₂, …, ε_Λ)}                                         (12)

 

Для нелинейных усреднений имеем

 

Γ {H (ε₁, ε₂, … , ε_Λ)} =  (1/K_L)   ∑_k Γ {F_k}                                                         (13),

 

где    Γ {F} монотонная, неотрицательная функция, так что нелинейное уравнение (13) разрешимо относительно F и существует обратное преобразование F^-1 (например, F есть среднее геометрическое при F(P) = lnP, среднее гармоническое при F(P) = 1/Р и т.д.). Уместно рассматривать операторы F(P) как класс биекций [0,1]↔[0,1]  –  группу нелинейных преобразований с композицией в качестве групповой операции и функции тождества F(P) = Р в качестве единичного элемента группы. В этом случае монотонно возрастающие функции F(P) могут интерпретироваться как распределения вероятностей.

         Техника нелинейных усреднений (1– 3) позволяет  при оценке теоретико-групповых инвариантов (2) не только уверенно работать с неклассическими оценками решений интегральных и функциональных уравнений (оценками нелинейного обратного проецирования, выпуклого проецирования [1, 2] и др.), но пригодна также для гибкой адаптации богатого наследия классической математической статистики к новым  проблемам теоретико-групповой реконструкции, “смысловой фильтрации” и к тесно связанных с ними более старым, но всегда актуальным задачам  (выделение сигнала на фоне шума, распознавание образов и др. ).

         Традиционной задачей РВД является выявление аномалий на фоне устойчивой нормы. Теоретико-групповое описание нормы (как системы инвариантов) весьма естественно.

Среди арсенала инструментов статистических выводов, развитых в математической статистике за последнее столетие, для этих целей могут быть использованы методы многомерного статистического анализа, прежде всего факторного анализа, при котором осуществляется снижение размерности пространства наблюдаемых величин путем линейного проецирования. Среди схем факторного анализа для целей вычислительной диагностики интересны дискриминантный анализ, предложенный Р.Фишером в 1936 г. и дисперсионный анализ, предложенный им же в 1925 г.

Дисперсионный анализ адекватен для выявления свойств целостных объектов, что характерно также для структурного подхода и теории групп, поэтому он хорошо гармонирует с ними. Кроме того, он хорошо согласуется с идеологией “геометрии в малом” 

Вернемся к задаче проверки “нулевой гипотезы” о том, является ли (2) инвариантом относительно преобразований из группы L_S. В явно статистической постановке этой задачи группу Ли L_S заменяем конечной группой L_fin. Будем проверять гипотезу на основе схемы дисперсионного анализа (“в конечном малом”), причем оператор g_k (ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ) из группы L_fin    рассматриваем как фактор, предположительно влияющий на значения функционала Ψ (I_O, η₁, η₂, …, η_Λ). При этом в локальной области возникает K_L  ее  “внутренних ракурсов” (k = 1,…, K_L). Функционал Ψ будет зависеть от индекса k т.е.

 

Ψ_k (η₁, η₂, …, η_Λ)  = Ψ (g_k I_O , η₁, η₂, … , η_Λ)                                                     (14)

 

В соответствии с основными предпосылками дисперсионного анализа предполагаем, что Ψ является линейной (или же “линеаризованной”) функцией координат η₁, η₂, …, η_Λ.  

Исходное изображение I_O (η₁, η₂, …, η_Λ) в локальной области “расслаивается” на K_L “ракурсов” (в терминологии дисперсионного анализа – “групп”) R_k (ε₁, ε₂, … ε_Λ) для которых необходимо вычислить “межгрупповую” и “общую внутригрупповую” дисперсии. Для осуществления этого необходима дискретизация локальной многомерной области по координатам. Необходимо знать размерности (целые числа) локальной зоны – W_zone и общей системы “ракурсов”: W_comm = K_L W_zone. В зависимости от характера задачи, это можно сделать разными способами. Естественным является представление локальной зоны в форме многомерного куба с полушириной Q.   Тогда W_zone =  (2Q + 1)^Λ, а W_comm = K_L (2Q + 1)^Λ.

Для осушествления процедуры дисперсионного анализа вычисляем выборочные средние по ракурсам R_mean,k, среднее по совокупности ракурсов R_mean, “межгрупповую дисперсию” D_inter и “общую дисперсию” по совокупности ракурсов D_comm. 

 

R_{mean, k}  =  (1/W_zone)   ∑ _l   R_{k, l} Δε₁ Δε₂, …, Δε_Λ                                                                          (15)

 

Суммирование в (15) проводится в “локальной области” (“зоне”) по   многомерному индексу l ≡ (l₁, l₂, …, l_Λ). Величина R_{k, l} является значением ракурса R_k в точке l. Величина Δε₁ Δε₂, …, Δε_Λ представляет собой “элементарный объем ячейки” при суммировании.

 

R_mean =  (1/ K_L)   ∑ _k   R_{k, l}                                                              (16)

 

D_inter = (1/ (K_L-1))  ∑ _k (R_{mean, k} - R_mean) ²                                                                                    (17)

0э

Т.е. уместно вычислять (17) как “несмещенную” оценку. Дисперсия в отдельном ракурсе может быть вычислена как

 

D _k  =  (1/W_zone)   ∑ _l   (R_{k, l} -  R_{mean, k}) ²   Δε₁ Δε₂, …, Δε_Λ                                                        (18)

 

Для общей дисперсии имеем

 

D_comm   =  (1/W_comm)   ∑ _{l, k}   (R_{k, l} -  R_mean) ²   Δε₁ Δε₂, …, Δε_Λ                                      (19)

 

Нулевую гипотезу о инвариантности (2) относительно действия всей совокупности операторов g_k (ξ₁, ξ₂, … ξ_Λ) из группы L_fin проверяем путем сравнения дисперсий (17) и (19). Если дисперсионое отношение

 

F = D_inter / D_comm                                                         (20)

 

значимо отклоняется от единицы, то гипотеза отвергается.

Сам по себе критерий (20) полезно обратить в статистическую оценку – “меру различия” образов. Исходя из сказанного выше нетрудно осознать насущную потребность РВД в разработке нелинейных “мер различия” типа (20) обладающих всеми концептуальными достоинствами классического дисперсионного анализа, но освобожденного от его практических недостатков.

Перспективы теоретико-группового подхода к развитию современных и более эффективных аналогов методов классической математической статистики обнадеживающие, поскольку при реконструкции изображений реальные нелинейые помехи на исходных изображениях (даже самые “дикие” из них) могут быть описаны теоретико-групповыми преобразованиями и представлены “структурными факторами”, с которыми можно работать статистическими методами. Таким образом, и “предобработка” исходных информационных образов (например, рентгеновских проекций в ВТ) и базовая реконструкция могут осуществляться в рамках одного и того же унифицированного подхода.

Основные результаты в развитии теоретико-групповых статистических методов решения реконструктивных задач. Перспективы применения данного класса методов.

Особенность структурно-ориентированного подхода к описанию и реконструкции объектов в том, что в нем впервые и систематически проводится сближение теоретико-групповых методов с методами математической статистики. Напомним, что до сих пор в приложениях теории групп (гл. образом в теоретической физике) основным инструментом была теория представлений групп линейными операторами. 

К настоящему моменту на основе теоретико-групповых статистических методов решены уже многие   реконструктивные задачи НК. Среди них контроль строительных конструкций [6], визуализация зон формирования трещин в сварных швах [8], томографическая диагностика флуктуаций плотности урана в ТВЭЛах ядерных реакторов и др. Решаются также некоторые задачи томографической диагностики произведений искусства (главным образом, памятников архитектуры). Приложения данных реконструктивных методов в НК неоднократно обсуждались в печати См. [5-8, 12]). Ограниченный объем данной статьи не позволяет включить в нее какие-либо новые прикладные результаты. Естественно, они будут последовательно представлены в дальнейших публикациях. В данной работе не затронуты также активно развиваемые авторами теоретико-групповые статистические методы реконструкции в “пространстве частот” и в других функциональных пространствах.

Первые из практических результатов по теоретико-групповым статистическим методам достигнуты в рамках двух международных научно-исследовательских программ: 1). Программа разработки новых методов контроля строительных конструкций, осуществленная “Федеральным институтом по контролю и исследованию материалов” (“БАМ”, Берлин) при технической поддержке фирмы “Fuji Film Europe” (Дюссельдорф). [6]; 2) Исследовательская программа “БАМ” совместно с несколькими немецкими институтами и Немецкой ассоциацией электростанций по развитию методов неразрушающего радиационного контроля и диагностики компонентов атомных электростанций [8, 12].

В настоящее время      позитивный опыт, накопленный при решении проблем радиационного контроля с применением теоретико-групповых реконструктивных методов [5-8, 12], переносится на решения задач медицинской диагностики (главным образом, в кардиологии [13-15]). Для этой цели разрабатывается адекватное программное обеспечение.  Ведется работа также над стробоскопическими вариантами   теоретико-групповой реконструктивной диагностики для томографической визуализации сердца в фазовом времени, в которой режим стробирования – “кардиограммно-управляемый” т.е. задается естественными ритмами биения сердца пациента [16-18].  

Потенциальная сфера приложений теоретико-групповых реконструктивных методов очень широка и в данный момент трудно очертить ее границы. Перечислим лишь некоторые из возможных областей ее применения в ближайшем будущем. Это математическая физика, медицина, обработка спутниковой информации,  космическая геологоразведка,    геофизика и астрофизика, синтетическая компьютерная психология, интеллектуальные  информационные технологии (ИИТ) и пр. Опыт применения данных реконструктивных методов в НК может быть с относительной легкостью перенесен на решение таких задач компьютерной психологии как исследование “отклоняющегося поведения” (deviant behavior) людей, животных, разнообразных “человекомерных систем”, “големов” и пр.. Весьма естественным является их применение в эргономике (называемой в западных странах “human factor”) для совершенствования внутреннего языка различных “операциональных структур” (включая “эргатические” человеко-машинные системы). В особенности они полезны на этапе перекодировки сигналов, идущих от технической компоненты системы к “субъекту управления” (т.е. к человеку-оператору) в   целостный образ “объекта управления”. Преимущества такого представления информации заложены уже в самом структурном подходе, в рамках которого оптимальная “эргатическая система” (“операциональная структура”) представляеи собой целостность, для которой характерно “субъект-объектное единство”.

Вообще же, структурный теоретико-групповой подход наиболее удобен не только для переключения аспектов (структурных уровней в системе, “гештальтов”, если речь идет о человеческом сознании), но и для двустороннего неполного “перевода” информации (с синтетического уровня на аналитический и обратно). В силу этого применение теоретико-групповых статистических методов РВД уместно в любых ИИТ с “феноменологическим” уклоном т.е. там, где осуществляется “визуализация прагматических смыслов” для человека-оператора. (В частности, такими ИИТ являются структурно-ориентированные системы дефектоскопии).    Система РВД осуществляя для человека-оператора “неполный перевод” информации с аналитического уровня на синтетический, освобождает его от массы рутинной работы, резко повышает продуктивность его деятельности и дает ему возможность “быть ны высоте” в сложных ситуациях – принимать мгновенные эффективные решения и пр. Легко видеть, что в этом случае служебные функции РВД во многих отношениях смыкаются с аналогичными функциями “искусственного интеллекта”. (Что касается “окончательных решений”, они принимаются самим человеком на синтетическом уровне). Нетрудно предсказать возрастание потребности в разнообразных ИИТ такого рода в ближайшем будущем. Нет сомнений также в перспективности встраивания теоретико-групповых статистических процедур РВД в родственные им системы ИИ.  Принципы структурно-ориентированной РВД способны повлиять и на сложившиеся подходы к разработке моделей ИИ т.к. и в том, и в другом случае основным ресурсом повышения их эффективности является алгоритмизация некоторых паттернов человеческого синтетического мышления.   

Несмотря на эти возможности, традиционной и основной областью приложений данных методов РВД остается “математическая интроскопия” (включающая в себя НК и медицинскую диагностику). 

 

Авторы благодарят д-ра М. Калинга (Fuji Film Europe), а также проф. У. Эверта и проф. У.
Шерпеля (Bundesanstalt
für Materialforschung und –prüfung (BAM-Berlin)) за неоценимую помощь
в экспериментальной части исследований по развитию теоретико-групповых
реконструктивных методов. 

Библиографический список

1. Baranov V.A. A Variational Approach to Non-Linear Backprojection // “Computerized Tomography”, coll. of papers, Novosibirsk – Utrecht, Editor-in-Chief: M.M.Lavrent’ev, 1995 Utrecht, the Netherlands, pp. 82-97.
2. Baranov V.A. Convex projections reconstruction on the basis of non-linear backprojection techniques // In coll. of papers to International Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications, Berlin, 1994, pp. 88-95.
3. Ewert U., Baranov V., Borchard K. Cross-sectional imaging of building elements by new non-linear tomosynthesis technique using imaging plates and 60Co radiation” // NDT & E International, 1997 Elsevier Science Ltd., Vol. 30, № 4, pp. 243-248.
4. Baranov V.A.., Ewert U., Кröning H.-M., Brazovsky W.W., Uchaikina E.S., Kuleshov V.K. Nonliinear Backprojection in Reconstruction Nondestructive Testing Methods // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2011, Vol. 47, № 10, pp 696-700.
5. Baranov V.A.., Ewert U. The Statistical Group-Theoretical Method for Ttreatment of the Notion of Defect // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2011, Vol. 47, № 10, pp 707-709.
6. Baranov V.A.., Ewert U. Methods of Statistical Spatial Filtering of Images on the Basis of Local Group of Transformations // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 2, pp 123-128
7. Baranov V.A.., Ewert U. Symmetrical Aspects of the Causality Principle in Statistical Group-Theiretical Image-Reconstruction Methods // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 3, pp 187-190
8. Baranov V.A.., Ewert U., Redmer B., Kroening H.M. Quasi-Tomograpic Visualization of Crack-Formation Zones using Radiographic Projections Methods // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 4, pp 245-249.
9. Klein F. Das Erlanger Programm // Ostwalds Klassiker der exacten Wissenschaften, Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig K.-G., Leipzig, 1974.
10. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения // М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. – 760 с.
11. Крамер Г. Математические методы статистики // Пер. с англ., М: Мир, 1976. – 648 с.
12. Баранов В.А., Эверт У. Теоретико-групповой статистический подход к распознаванию и реконструкции “смысловых структур” в объектах контроля // Контроль, Диагностика 2013, № 13, стр. 127-133.
13. Шкарин В.В. Прогресс и проблема современного этапа компьютерного анализа электрокардиограмм // КАРДИОЛОГИЯ (Электронный ресурс) . URL: http://www.diamant.spb.ru (дата обращения: 11.05.2012)
14. D.Avdeeva, I.Lezhnina, P.Penkov, Y.Sadovnikov, A., Uvarov, S.Rybalka, O.Vylegzhanin, S.Demjanov, I.Maksimov. Results of medical nanoelectrodes usr in electrocardiographic research. The 6th International Conference on Bioinformatics and Biomedical Engineering (iCBBE 2012), Китай, Шанхай. V3 Biomedical Engineering. Biomedical Devices and Artificial Organs. P.263. Produced by IEEE eXpress Conference Publishing (Электронный ресурс). URL: http://www.ieee.org/conferencepublishing (дата обращения: 11.05.2012).
15. Авдеева Д.К., Рыбалка С.А., Южаков М.М. Разработка метода измерения широкополосных сигналов нановольтового и микровольтового уровня для электрофизиологических исследований // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2012. – 11.–.С.37-38.
16. Баранов В.А., Д.К. Авдеева Д.К., И.А. Лежнина И.А., Уваров А.А. Системы реконструктивной медицинской диагностики с управлением регистрации исходных данных биологическими ритмами человека // Контроль, Диагностика 2012, Специальный выпуск, стр. 88-94.
17. Баранов В.А., Авдеева Д.К., Пеньков П.Г., Южаков М.М., Максимов И.В., Балахонова М.В. Стробоскопические теоретико-групповые методы реконструктивной вычислительной диагностики эволюционирующих объектов // Контроль, Диагностика 2013, № 13, стр. 146-153.
18. Баранов В.А., Авдеева Д.К., Пеньков П.Г., Южаков М.М., Максиимов И.В, Балахонова М.В., Григорьев М.Г. Структурный подход к обратным задачам диагностики в кардиологии // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6; URL: http://www.science-education.ru/113-11343 (дата обращения: 25.12.2013).



References

1. Baranov V.A. A Variational Approach to Non-Linear Backprojection // “Computerized Tomography”, coll. of papers, Novosibirsk – Utrecht, Editor-in-Chief: M.M.Lavrent’ev, 1995 Utrecht, the Netherlands, pp. 82-97.
2. Baranov V.A. Convex projections reconstruction on the basis of non-linear backprojection techniques // In coll. of papers to International Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications, Berlin, 1994, pp. 88-95.
3. Ewert U., Baranov V., Borchard K. Cross-sectional imaging of building elements by new non-linear tomosynthesis technique using imaging plates and 60Co radiation” // NDT & E International, 1997 Elsevier Science Ltd., Vol. 30, № 4, pp. 243-248.
4. Baranov V.A.., Ewert U., Kröning H.-M., Brazovsky W.W., Uchaikina E.S., Kuleshov V.K. Nonliinear Backprojection in Reconstruction Nondestructive Testing Methods // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2011, Vol. 47, № 10, pp 696-700.
5. Baranov V.A.., Ewert U. The Statistical Group-Theoretical Method for Ttreatment of the Notion of Defect // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2011, Vol. 47, № 10, pp 707-709.
6. Baranov V.A.., Ewert U. Methods of Statistical Spatial Filtering of Images on the Basis of Local Group of Transformations // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 2, pp 123-128
7. Baranov V.A.., Ewert U. Symmetrical Aspects of the Causality Principle in Statistical Group-Theiretical Image-Reconstruction Methods // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 3, pp 187-190
8. Baranov V.A.., Ewert U., Redmer B., Kroening H.M. Quasi-Tomograpic Visualization of Crack-Formation Zones using Radiographic Projections Methods // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2012, Vol 48. № 4, pp 245-249.
9. Klein F. Das Erlanger Programm // Ostwalds Klassiker der exacten Wissenschaften, Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig K.-G., Leipzig, 1974.
10. Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Sovremennaja geometrija. Metody i prilozhenija // M.: Nauka, Glavnaja redakcija fiziko-matematicheskoj literatury, 1979. – 760 s.
11. Kramer G. Matematicheskie metody statistiki // Per. s angl., M: Mir, 1976. – 648 s.
12. Baranov V.A., Jevert U. Teoretiko-gruppovoj statisticheskij podhod k raspoznavaniju i rekonstrukcii “smyslovyh struktur” v ob#ektah kontrolja // Kontrol', Diagnostika 2013, № 13, str. 127-133.
13. Shkarin V.V. Progress i problema sovremennogo jetapa komp'juternogo analiza jelektrokardiogramm // KARDIOLOGIJa (Jelektronnyj resurs) . URL: http://www.diamant.spb.ru (data obrashhenija: 11.05.2012)
14. D.Avdeeva, I.Lezhnina, P.Penkov, Y.Sadovnikov, A., Uvarov, S.Rybalka, O.Vylegzhanin, S.Demjanov, I.Maksimov. Results of medical nanoelectrodes usr in electrocardiographic research. The 6th International Conference on Bioinformatics and Biomedical Engineering (iCBBE 2012), Kitaj, Shanhaj. V3 Biomedical Engineering. Biomedical Devices and Artificial Organs. P.263. Produced by IEEE eXpress Conference Publishing (Jelektronnyj resurs). URL: http://www.ieee.org/conferencepublishing (data obrashhenija: 11.05.2012).
15. Avdeeva D.K., Rybalka S.A., Juzhakov M.M. Razrabotka metoda izmerenija shirokopolosnyh signalov nanovol'tovogo i mikrovol'tovogo urovnja dlja jelektrofiziologicheskih issledovanij // Mezhdunarodnyj zhurnal prikladnyh i fundamental'nyh issledovanij. – 2012. – 11.–.S.37-38.
16. Baranov V.A., D.K. Avdeeva D.K., I.A. Lezhnina I.A., Uvarov A.A. Sistemy rekonstruktivnoj medicinskoj diagnostiki s upravleniem registracii ishodnyh dannyh biologicheskimi ritmami cheloveka // Kontrol', Diagnostika 2012, Special'nyj vypusk, str. 88-94.
17. Baranov V.A., Avdeeva D.K., Pen'kov P.G., Juzhakov M.M., Maksimov I.V., Balahonova M.V. Stroboskopicheskie teoretiko-gruppovye metody rekonstruktivnoj vychislitel'noj diagnostiki jevoljucionirujushhih ob#ektov // Kontrol', Diagnostika 2013, № 13, str. 146-153.
18. Baranov V.A., Avdeeva D.K., Pen'kov P.G., Juzhakov M.M., Maksiimov I.V, Balahonova M.V., Grigor'ev M.G. Strukturnyj podhod k obratnym zadacham diagnostiki v kardiologii // Sovremennye problemy nauki i obrazovanija. – 2013. – № 6; URL: http://www.science-education.ru/113-11343 (data obrashhenija: 25.12.2013).

Tweet

Яндекс.ВиджетINNOV